{l}{2x+2y=160}{x=3y} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + 2 y = 160 }\\{ x = 3 y }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=60$$

$$y=20$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+2y=160,x-3y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+2y=160$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$2x=-2y+160$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+160\right)$$

-2y+160 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+80$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+80 चा विकल्प वापरा, x-3y=0.

$$-y+80-3y=0$$

-y ते -3y जोडा.

$$-4y+80=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 80 वजा करा.

$$-4y=-80$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=20$$

x=-y+80 मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-20+80$$

80 ते -20 जोडा.

$$x=60$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=60,y=20$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+2y=160,x-3y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-2}&-\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}160\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 160\\\frac{1}{8}\times 160\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=60,y=20$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+2y=160,x-3y=0$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+2y=160,2x+2\left(-3\right)y=0$$

सरलीकृत करा.

$$2x+2y=160,2x-6y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+2y=160 मधून 2x-6y=0 वजा करा.

$$2x-2x+2y+6y=160$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y+6y=160$$

2y ते 6y जोडा.

$$8y=160$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=20$$

x-3y=0 मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3\times 20=0$$

20 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x-60=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 60 जोडा.

$$x=60$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=60,y=20$$