{l}{-5x+4y=3}{x=2y-15} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=9$$

$$y=12$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x+4y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$-5x=-4y+3$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

-4y+3 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4y-3}{5} चा विकल्प वापरा, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

\frac{4y}{5} ते -2y जोडा.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{5} जोडा.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{6}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=12$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} मध्ये y साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

12 ला \frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{5} ते \frac{48}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=12$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=9,y=12$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

-5x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5x+4y=3 मधून -5x+10y=75 वजा करा.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

-5x ते 5x जोडा. -5x आणि 5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-10y=3-75$$

4y ते -10y जोडा.

$$-6y=3-75$$

3 ते -75 जोडा.

$$-6y=-72$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=12$$

x-2y=-15 मध्ये y साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-2\times 12=-15$$

12 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x-24=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 24 जोडा.

$$x=9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=9,y=12$$