{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$32x+3y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$32x=-3y+5$$

दोन्ही बाजूंना 32 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5 ला \frac{1}{32} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+5}{32} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

\frac{-3y+5}{32} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

-\frac{9y}{32} ते 2y जोडा.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{32} वजा करा.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{55}{32} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{445}{11}$$

x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32} मध्ये y साठी \frac{445}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{445}{11} चा -\frac{3}{32} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{32} ते -\frac{1335}{352} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{40}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 32 ने गुणाकार करा.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

सरलीकृत करा.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 96x+9y=15 मधून 96x+64y=2240 वजा करा.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

96x ते -96x जोडा. 96x आणि -96x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y-64y=15-2240$$

9y ते -64y जोडा.

$$-55y=15-2240$$

15 ते -2240 जोडा.

$$-55y=-2225$$

दोन्ही बाजूंना -55 ने विभागा.

$$y=\frac{445}{11}$$

3x+2y=70 मध्ये y साठी \frac{445}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

\frac{445}{11} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{890}{11} वजा करा.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{40}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$