{l}{y=x/3-3}{4x+y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{x}{3} वजा करा.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y-x=-9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y-x=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस x जोडा.

$$3y=x-9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

x-9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{x}{3}-3 चा विकल्प वापरा, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

\frac{x}{3} ते 4x जोडा.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$\frac{13}{3}x=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=0$$

y=\frac{1}{3}x-3 मध्ये x साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-3,x=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{x}{3} वजा करा.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y-x=-9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-3,x=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{x}{3} वजा करा.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y-x=-9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

3y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3y-x=-9 मधून 3y+12x=-9 वजा करा.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-x-12x=-9+9$$

-x ते -12x जोडा.

$$-13x=-9+9$$

-9 ते 9 जोडा.

$$-13x=0$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$x=0$$

y+4x=-3 मध्ये x साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-3,x=0$$