{l}{y=1/2x+4}{x-y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=24$$

$$y=16$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{x}{2} जोडा.

$$y=\frac{1}{2}x+4$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{x}{2}+4 चा विकल्प वापरा, -y+x=8.

$$-\left(\frac{1}{2}x+4\right)+x=8$$

\frac{x}{2}+4 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}x-4+x=8$$

-\frac{x}{2} ते x जोडा.

$$\frac{1}{2}x-4=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$\frac{1}{2}x=12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=24$$

y=\frac{1}{2}x+4 मध्ये x साठी 24 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{1}{2}\times 24+4$$

24 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=12+4$$

4 ते 12 जोडा.

$$y=16$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=16,x=24$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4+8\\2\times 4+2\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=16,x=24$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-y-\left(-\frac{1}{2}x\right)=-4,-y+x=8$$

सरलीकृत करा.

$$-y+\frac{1}{2}x=-4,-y+x=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y+\frac{1}{2}x=-4 मधून -y+x=8 वजा करा.

$$-y+y+\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

\frac{x}{2} ते -x जोडा.

$$-\frac{1}{2}x=-4-8$$

-4 ते -8 जोडा.

$$-\frac{1}{2}x=-12$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$x=24$$

-y+x=8 मध्ये x साठी 24 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+24=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$-y=-16$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=16$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=16,x=24$$