{l}{x-29z=15}{4x+3z=-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

x, z साठी सोडवा

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-29z=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 29z जोडा.

$$x=29z+15$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 29z+15 चा विकल्प वापरा, 4x+3z=-2.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

29z+15 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$116z+60+3z=-2$$

116z ते 3z जोडा.

$$119z+60=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 60 वजा करा.

$$119z=-62$$

दोन्ही बाजूंना 119 ने विभागा.

$$z=-\frac{62}{119}$$

x=29z+15 मध्ये z साठी -\frac{62}{119} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

-\frac{62}{119} ला 29 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

15 ते -\frac{1798}{119} जोडा.

$$x=-\frac{13}{119}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि z घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

सरलीकृत करा.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x-116z=60 मधून 4x+3z=-2 वजा करा.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-116z-3z=60+2$$

-116z ते -3z जोडा.

$$-119z=60+2$$

60 ते 2 जोडा.

$$-119z=62$$

दोन्ही बाजूंना -119 ने विभागा.

$$z=-\frac{62}{119}$$

4x+3z=-2 मध्ये z साठी -\frac{62}{119} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

-\frac{62}{119} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{186}{119} जोडा.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-\frac{13}{119}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$