{l}{x-10y=-14}{-5x-8y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x - 10 y = - 14 } \\ { - 5 x - 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-10y=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10y जोडा.

$$x=10y-14$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 10y-14 चा विकल्प वापरा, -5x-8y=12.

$$-5\left(10y-14\right)-8y=12$$

10y-14 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$-50y+70-8y=12$$

-50y ते -8y जोडा.

$$-58y+70=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 70 वजा करा.

$$-58y=-58$$

दोन्ही बाजूंना -58 ने विभागा.

$$y=1$$

x=10y-14 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=10-14$$

-14 ते 10 जोडा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&-\frac{-10}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{-8-\left(-10\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&-\frac{5}{29}\\-\frac{5}{58}&-\frac{1}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\left(-14\right)-\frac{5}{29}\times 12\\-\frac{5}{58}\left(-14\right)-\frac{1}{58}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-4,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-10y=-14,-5x-8y=12$$

x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-5x-5\left(-10\right)y=-5\left(-14\right),-5x-8y=12$$

सरलीकृत करा.

$$-5x+50y=70,-5x-8y=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5x+50y=70 मधून -5x-8y=12 वजा करा.

$$-5x+5x+50y+8y=70-12$$

-5x ते 5x जोडा. -5x आणि 5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$50y+8y=70-12$$

50y ते 8y जोडा.

$$58y=70-12$$

70 ते -12 जोडा.

$$58y=58$$

दोन्ही बाजूंना 58 ने विभागा.

$$y=1$$

-5x-8y=12 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x-8=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$-5x=20$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=1$$