{l}{x=y+1}{4x+2y=-14} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x = y + 1 } \\ { 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+1 चा विकल्प वापरा, 4x+2y=-14.

$$4\left(y+1\right)+2y=-14$$

y+1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$4y+4+2y=-14$$

4y ते 2y जोडा.

$$6y+4=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$6y=-18$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=-3$$

x=y+1 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3+1$$

1 ते -3 जोडा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-4\right)}&\frac{1}{2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-14\right)\\-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x-y=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=1,4x+2y=-14$$

x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4x+4\left(-1\right)y=4,4x+2y=-14$$

सरलीकृत करा.

$$4x-4y=4,4x+2y=-14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x-4y=4 मधून 4x+2y=-14 वजा करा.

$$4x-4x-4y-2y=4+14$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y-2y=4+14$$

-4y ते -2y जोडा.

$$-6y=4+14$$

4 ते 14 जोडा.

$$-6y=18$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=-3$$

4x+2y=-14 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+2\left(-3\right)=-14$$

-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-6=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$4x=-8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-3$$