{l}{x+y=7}{5x+12y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=11$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+7 चा विकल्प वापरा, 5x+12y=7.

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

-y+7 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y+35+12y=7$$

-5y ते 12y जोडा.

$$7y+35=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 35 वजा करा.

$$7y=-28$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=-4$$

x=-y+7 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-4\right)+7$$

-4 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=4+7$$

7 ते 4 जोडा.

$$x=11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=11,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

सरलीकृत करा.

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+5y=35 मधून 5x+12y=7 वजा करा.

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y-12y=35-7$$

5y ते -12y जोडा.

$$-7y=35-7$$

35 ते -7 जोडा.

$$-7y=28$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=-4$$

5x+12y=7 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

-4 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-48=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 48 जोडा.

$$5x=55$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11,y=-4$$