{l}{x+y=12}{5x+10y=165} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 12 } \\ { 5 x + 10 y = 165 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-9$$

$$y=21$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+12$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+12 चा विकल्प वापरा, 5x+10y=165.

$$5\left(-y+12\right)+10y=165$$

-y+12 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y+60+10y=165$$

-5y ते 10y जोडा.

$$5y+60=165$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 60 वजा करा.

$$5y=105$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=21$$

x=-y+12 मध्ये y साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-21+12$$

12 ते -21 जोडा.

$$x=-9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-9,y=21$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-5}&-\frac{1}{10-5}\\-\frac{5}{10-5}&\frac{1}{10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{5}\\-1&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\165\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 12-\frac{1}{5}\times 165\\-12+\frac{1}{5}\times 165\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-9,y=21$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=12,5x+10y=165$$

x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5x+5y=5\times 12,5x+10y=165$$

सरलीकृत करा.

$$5x+5y=60,5x+10y=165$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+5y=60 मधून 5x+10y=165 वजा करा.

$$5x-5x+5y-10y=60-165$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y-10y=60-165$$

5y ते -10y जोडा.

$$-5y=60-165$$

60 ते -165 जोडा.

$$-5y=-105$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=21$$

5x+10y=165 मध्ये y साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+10\times 21=165$$

21 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+210=165$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 210 वजा करा.

$$5x=-45$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-9$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-9,y=21$$