{l}{x+2y=4+3}{-x-y=278-1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 + 3 } \\ { - x - y = 278 - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-561$$

$$y=284$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+7 चा विकल्प वापरा, -x-y=277.

$$-\left(-2y+7\right)-y=277$$

-2y+7 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-7-y=277$$

2y ते -y जोडा.

$$y-7=277$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7 जोडा.

$$y=284$$

x=-2y+7 मध्ये y साठी 284 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times 284+7$$

284 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-568+7$$

7 ते -568 जोडा.

$$x=-561$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-561,y=284$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{-1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{-1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7-2\times 277\\7+277\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-561\\284\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-561,y=284$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=7,-x-y=277$$

x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-x-2y=-7,-x-y=277$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -x-2y=-7 मधून -x-y=277 वजा करा.

$$-x+x-2y+y=-7-277$$

-x ते x जोडा. -x आणि x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y+y=-7-277$$

-2y ते y जोडा.

$$-y=-7-277$$

-7 ते -277 जोडा.

$$-y=-284$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=284$$

-x-y=277 मध्ये y साठी 284 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x-284=277$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 284 जोडा.

$$-x=561$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-561$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-561,y=284$$