{l}{x+2y=3}{2x+5y=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+3 चा विकल्प वापरा, 2x+5y=4.

$$2\left(-2y+3\right)+5y=4$$

-2y+3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+6+5y=4$$

-4y ते 5y जोडा.

$$y+6=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$y=-2$$

x=-2y+3 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-2\right)+3$$

-2 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=4+3$$

3 ते 4 जोडा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 2}&-\frac{2}{5-2\times 2}\\-\frac{2}{5-2\times 2}&\frac{1}{5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 3-2\times 4\\-2\times 3+4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=3,2x+5y=4$$

x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2x+2\times 2y=2\times 3,2x+5y=4$$

सरलीकृत करा.

$$2x+4y=6,2x+5y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+4y=6 मधून 2x+5y=4 वजा करा.

$$2x-2x+4y-5y=6-4$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-5y=6-4$$

4y ते -5y जोडा.

$$-y=6-4$$

6 ते -4 जोडा.

$$-y=2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-2$$

2x+5y=4 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\left(-2\right)=4$$

-2 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-10=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$2x=14$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=-2$$