{l}{a+2b=29}{2a+b=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { a + 2 b = 29 } \\ { 2 a + b = 17 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{41}{3} = 13\frac{2}{3} \approx 13.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$a+2b=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2b वजा करा.

$$a=-2b+29$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -2b+29 चा विकल्प वापरा, 2a+b=17.

$$2\left(-2b+29\right)+b=17$$

-2b+29 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-4b+58+b=17$$

-4b ते b जोडा.

$$-3b+58=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 58 वजा करा.

$$-3b=-41$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$b=\frac{41}{3}$$

a=-2b+29 मध्ये b साठी \frac{41}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-2\times \frac{41}{3}+29$$

\frac{41}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{82}{3}+29$$

29 ते -\frac{82}{3} जोडा.

$$a=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 29+\frac{2}{3}\times 17\\\frac{2}{3}\times 29-\frac{1}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{41}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$a+2b=29,2a+b=17$$

a आणि 2a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2a+2\times 2b=2\times 29,2a+b=17$$

सरलीकृत करा.

$$2a+4b=58,2a+b=17$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2a+4b=58 मधून 2a+b=17 वजा करा.

$$2a-2a+4b-b=58-17$$

2a ते -2a जोडा. 2a आणि -2a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4b-b=58-17$$

4b ते -b जोडा.

$$3b=58-17$$

58 ते -17 जोडा.

$$3b=41$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$b=\frac{41}{3}$$

2a+b=17 मध्ये b साठी \frac{41}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$2a+\frac{41}{3}=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{41}{3} वजा करा.

$$2a=\frac{10}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{41}{3}$$