{l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9x+my+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$9x+my=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून my वजा करा.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

-my-3 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} चा विकल्प वापरा, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} ला m वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9} ते 4y जोडा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -\frac{m}{3}+2 वजा करा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{m^{2}}{9}+4 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} मध्ये y साठी -\frac{3}{6+m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{3}{6+m} ला -\frac{m}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} ते \frac{m}{3\left(6+m\right)} जोडा.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x आणि mx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना m ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

सरलीकृत करा.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9mx+m^{2}y+3m=0 मधून 9mx+36y+18=0 वजा करा.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx ते -9mx जोडा. 9mx आणि -9mx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y ते -36y जोडा.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -18+3m वजा करा.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

दोन्ही बाजूंना m^{2}-36 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0 मध्ये y साठी -\frac{3}{6+m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

-\frac{3}{6+m} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m} ते 2 जोडा.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2m}{6+m} वजा करा.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

दोन्ही बाजूंना m ने विभागा.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9x+my+3=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$9x+my=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून my वजा करा.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

-my-3 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} चा विकल्प वापरा, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

-\frac{my}{9}-\frac{1}{3} ला m वेळा गुणाकार करा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

-\frac{m^{2}y}{9} ते 4y जोडा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -\frac{m}{3}+2 वजा करा.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

दोन्ही बाजूंना -\frac{m^{2}}{9}+4 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3} मध्ये y साठी -\frac{3}{6+m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{3}{6+m} ला -\frac{m}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3} ते \frac{m}{3\left(6+m\right)} जोडा.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

9x आणि mx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना m ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

सरलीकृत करा.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9mx+m^{2}y+3m=0 मधून 9mx+36y+18=0 वजा करा.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

9mx ते -9mx जोडा. 9mx आणि -9mx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

m^{2}y ते -36y जोडा.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून -18+3m वजा करा.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

दोन्ही बाजूंना m^{2}-36 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

mx+4y+2=0 मध्ये y साठी -\frac{3}{6+m} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

-\frac{3}{6+m} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

-\frac{12}{6+m} ते 2 जोडा.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2m}{6+m} वजा करा.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

दोन्ही बाजूंना m ने विभागा.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$