{l}{9k_{1}+8k_{2}=59}{25k_{1}+k_{2}=79} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 9 k _ { 1 } + 8 k _ { 2 } = 59 } \\ { 25 k _ { 1 } + k _ { 2 } = 79 } \end{array} \right.$$

k_1, k_2 साठी सोडवा

$$k_{1}=3$$

$$k_{2}=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k_{1} विलग करून, k_{1} साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9k_{1}+8k_{2}=59$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8k_{2} वजा करा.

$$9k_{1}=-8k_{2}+59$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$k_{1}=\frac{1}{9}\left(-8k_{2}+59\right)$$

-8k_{2}+59 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}$$

इतर समीकरणामध्ये k_{1} साठी \frac{-8k_{2}+59}{9} चा विकल्प वापरा, 25k_{1}+k_{2}=79.

$$25\left(-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9}\right)+k_{2}=79$$

\frac{-8k_{2}+59}{9} ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{200}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}+k_{2}=79$$

-\frac{200k_{2}}{9} ते k_{2} जोडा.

$$-\frac{191}{9}k_{2}+\frac{1475}{9}=79$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1475}{9} वजा करा.

$$-\frac{191}{9}k_{2}=-\frac{764}{9}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{191}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$k_{2}=4$$

k_{1}=-\frac{8}{9}k_{2}+\frac{59}{9} मध्ये k_{2} साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k_{1} साठी थेट सोडवू शकता.

$$k_{1}=-\frac{8}{9}\times 4+\frac{59}{9}$$

4 ला -\frac{8}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$k_{1}=\frac{-32+59}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{59}{9} ते -\frac{32}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k_{1}=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&8\\25&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-8\times 25}&-\frac{8}{9-8\times 25}\\-\frac{25}{9-8\times 25}&\frac{9}{9-8\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}&\frac{8}{191}\\\frac{25}{191}&-\frac{9}{191}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\79\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{191}\times 59+\frac{8}{191}\times 79\\\frac{25}{191}\times 59-\frac{9}{191}\times 79\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k_{1}\\k_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k_{1} आणि k_{2} घटक बाहेर काढा.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9k_{1}+8k_{2}=59,25k_{1}+k_{2}=79$$

9k_{1} आणि 25k_{1} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$25\times 9k_{1}+25\times 8k_{2}=25\times 59,9\times 25k_{1}+9k_{2}=9\times 79$$

सरलीकृत करा.

$$225k_{1}+200k_{2}=1475,225k_{1}+9k_{2}=711$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 225k_{1}+200k_{2}=1475 मधून 225k_{1}+9k_{2}=711 वजा करा.

$$225k_{1}-225k_{1}+200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

225k_{1} ते -225k_{1} जोडा. 225k_{1} आणि -225k_{1} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$200k_{2}-9k_{2}=1475-711$$

200k_{2} ते -9k_{2} जोडा.

$$191k_{2}=1475-711$$

1475 ते -711 जोडा.

$$191k_{2}=764$$

दोन्ही बाजूंना 191 ने विभागा.

$$k_{2}=4$$

25k_{1}+k_{2}=79 मध्ये k_{2} साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k_{1} साठी थेट सोडवू शकता.

$$25k_{1}+4=79$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$25k_{1}=75$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$k_{1}=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k_{1}=3,k_{2}=4$$