{l}{8x+7y=1}{5x+6y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+7y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$8x=-7y+1$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

-7y+1 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-7y+1}{8} चा विकल्प वापरा, 5x+6y=1.

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

\frac{-7y+1}{8} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

-\frac{35y}{8} ते 6y जोडा.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{8} वजा करा.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{8} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{3}{13}$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8} मध्ये y साठी \frac{3}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{3}{13} चा -\frac{7}{8} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{8} ते -\frac{21}{104} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{1}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

8x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

सरलीकृत करा.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 40x+35y=5 मधून 40x+48y=8 वजा करा.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

40x ते -40x जोडा. 40x आणि -40x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y-48y=5-8$$

35y ते -48y जोडा.

$$-13y=5-8$$

5 ते -8 जोडा.

$$-13y=-3$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{13}$$

5x+6y=1 मध्ये y साठी \frac{3}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

\frac{3}{13} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{13} वजा करा.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$