{l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x-5y=-22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$7x=5y-22$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

5y-22 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y-22}{7} चा विकल्प वापरा, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

\frac{5y-22}{7} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

\frac{20y}{7} ते 3y जोडा.

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{88}{7} जोडा.

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{41}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

3 ला \frac{5}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{15-22}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{22}{7} ते \frac{15}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

7x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 28x-20y=-88 मधून 28x+21y=35 वजा करा.

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

28x ते -28x जोडा. 28x आणि -28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20y-21y=-88-35$$

-20y ते -21y जोडा.

$$-41y=-88-35$$

-88 ते -35 जोडा.

$$-41y=-123$$

दोन्ही बाजूंना -41 ने विभागा.

$$y=3$$

4x+3y=5 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+3\times 3=5$$

3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+9=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$4x=-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$