{l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+5y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$7x=-5y-3$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

-5y-3 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y-3}{7} चा विकल्प वापरा, -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

\frac{-5y-3}{7} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

\frac{45y}{7} ते y जोडा.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{27}{7} वजा करा.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{52}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

-2 ला -\frac{5}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{7} ते \frac{10}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

7x आणि -9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -63x-45y=27 मधून -63x+7y=-77 वजा करा.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

-63x ते 63x जोडा. -63x आणि 63x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-45y-7y=27+77$$

-45y ते -7y जोडा.

$$-52y=27+77$$

27 ते 77 जोडा.

$$-52y=104$$

दोन्ही बाजूंना -52 ने विभागा.

$$y=-2$$

-9x+y=-11 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-9x-2=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-9x=-9$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$