{l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x-5y=-36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$6x=5y-36$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

5y-36 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{6}-6 चा विकल्प वापरा, -7x+2y=39.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

\frac{5y}{6}-6 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

-\frac{35y}{6} ते 2y जोडा.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 42 वजा करा.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{23}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{18}{23}$$

x=\frac{5}{6}y-6 मध्ये y साठी \frac{18}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{18}{23} चा \frac{5}{6} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

-6 ते \frac{15}{23} जोडा.

$$x=-\frac{123}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

6x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

सरलीकृत करा.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -42x+35y=252 मधून -42x+12y=234 वजा करा.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

-42x ते 42x जोडा. -42x आणि 42x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y-12y=252-234$$

35y ते -12y जोडा.

$$23y=252-234$$

252 ते -234 जोडा.

$$23y=18$$

दोन्ही बाजूंना 23 ने विभागा.

$$y=\frac{18}{23}$$

-7x+2y=39 मध्ये y साठी \frac{18}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

\frac{18}{23} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{36}{23} वजा करा.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-\frac{123}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$