{l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$5y+4x=-13$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5y+4x=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$5y=-4x-13$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

-4x-13 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-4x-13}{5} चा विकल्प वापरा, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

\frac{-4x-13}{5} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

-\frac{24x}{5} ते 3x जोडा.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{78}{5} जोडा.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{9}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{143}{9}$$

y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5} मध्ये x साठी -\frac{143}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{143}{9} चा -\frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{13}{5} ते \frac{572}{45} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{91}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$5y+4x=-13$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$5y+4x=-13$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y आणि 6y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

सरलीकृत करा.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30y+24x=-78 मधून 30y+15x=65 वजा करा.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

30y ते -30y जोडा. 30y आणि -30y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24x-15x=-78-65$$

24x ते -15x जोडा.

$$9x=-78-65$$

-78 ते -65 जोडा.

$$9x=-143$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=-\frac{143}{9}$$

6y+3x=13 मध्ये x साठी -\frac{143}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

-\frac{143}{9} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{143}{3} जोडा.

$$6y=\frac{182}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=\frac{91}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$