{l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+2$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

3y+2 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+2}{5} चा विकल्प वापरा, 4x+7y=-3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

\frac{3y+2}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

\frac{12y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{8}{5} वजा करा.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{47}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{23}{47}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} मध्ये y साठी -\frac{23}{47} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{23}{47} चा \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{5} ते -\frac{69}{235} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{5}{47}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

5x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x-12y=8 मधून 20x+35y=-15 वजा करा.

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y-35y=8+15$$

-12y ते -35y जोडा.

$$-47y=8+15$$

8 ते 15 जोडा.

$$-47y=23$$

दोन्ही बाजूंना -47 ने विभागा.

$$y=-\frac{23}{47}$$

4x+7y=-3 मध्ये y साठी -\frac{23}{47} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

-\frac{23}{47} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{161}{47} जोडा.

$$4x=\frac{20}{47}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{47}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$