{l}{5x+2y=3}{7y+12x=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+2y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$5x=-2y+3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

-2y+3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+3}{5} चा विकल्प वापरा, 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

\frac{-2y+3}{5} ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

-\frac{24y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{36}{5} वजा करा.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{26}{11}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5} मध्ये y साठी -\frac{26}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{26}{11} चा -\frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{5} ते \frac{52}{55} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{17}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

5x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 60x+24y=36 मधून 60x+35y=10 वजा करा.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

60x ते -60x जोडा. 60x आणि -60x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24y-35y=36-10$$

24y ते -35y जोडा.

$$-11y=36-10$$

36 ते -10 जोडा.

$$-11y=26$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=-\frac{26}{11}$$

12x+7y=2 मध्ये y साठी -\frac{26}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

-\frac{26}{11} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{182}{11} जोडा.

$$12x=\frac{204}{11}$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=\frac{17}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$