{l}{5(x+3y)-(7x+8y)=-6}{7x-9y-2(x-18y)=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 3 y ) - ( 7 x + 8 y ) = - 6 } \\ { 7 x - 9 y - 2 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 5 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -7x एकत्र करा.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7y मिळविण्यासाठी 15y आणि -8y एकत्र करा.

$$-2x+7y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x-18y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5x मिळविण्यासाठी 7x आणि -2x एकत्र करा.

$$5x-9y+36y=0$$

27y मिळविण्यासाठी -9y आणि 36y एकत्र करा.

$$5x+27y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x+7y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$-2x=-7y-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y-6\right)$$

-7y-6 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y}{2}+3 चा विकल्प वापरा, 5x+27y=0.

$$5\left(\frac{7}{2}y+3\right)+27y=0$$

\frac{7y}{2}+3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{35}{2}y+15+27y=0$$

\frac{35y}{2} ते 27y जोडा.

$$\frac{89}{2}y+15=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$\frac{89}{2}y=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{89}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{30}{89}$$

x=\frac{7}{2}y+3 मध्ये y साठी -\frac{30}{89} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{30}{89} चा \frac{7}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

3 ते -\frac{105}{89} जोडा.

$$x=\frac{162}{89}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 5 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -7x एकत्र करा.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7y मिळविण्यासाठी 15y आणि -8y एकत्र करा.

$$-2x+7y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x-18y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5x मिळविण्यासाठी 7x आणि -2x एकत्र करा.

$$5x-9y+36y=0$$

27y मिळविण्यासाठी -9y आणि 36y एकत्र करा.

$$5x+27y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\5&27\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{7}{-2\times 27-7\times 5}\\-\frac{5}{-2\times 27-7\times 5}&-\frac{2}{-2\times 27-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}&\frac{7}{89}\\\frac{5}{89}&\frac{2}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{89}\left(-6\right)\\\frac{5}{89}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 5 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$5x+15y-\left(7x+8y\right)=-6$$

7x+8y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5x+15y-7x-8y=-6$$

-2x मिळविण्यासाठी 5x आणि -7x एकत्र करा.

$$-2x+15y-8y=-6$$

7y मिळविण्यासाठी 15y आणि -8y एकत्र करा.

$$-2x+7y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला x-18y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$7x-9y-2x+36y=0$$

5x मिळविण्यासाठी 7x आणि -2x एकत्र करा.

$$5x-9y+36y=0$$

27y मिळविण्यासाठी -9y आणि 36y एकत्र करा.

$$5x+27y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x+7y=-6,5x+27y=0$$

-2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने गुणाकार करा.

$$5\left(-2\right)x+5\times 7y=5\left(-6\right),-2\times 5x-2\times 27y=0$$

सरलीकृत करा.

$$-10x+35y=-30,-10x-54y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x+35y=-30 मधून -10x-54y=0 वजा करा.

$$-10x+10x+35y+54y=-30$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$35y+54y=-30$$

35y ते 54y जोडा.

$$89y=-30$$

दोन्ही बाजूंना 89 ने विभागा.

$$y=-\frac{30}{89}$$

5x+27y=0 मध्ये y साठी -\frac{30}{89} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+27\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

-\frac{30}{89} ला 27 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{810}{89}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{810}{89} जोडा.

$$5x=\frac{810}{89}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{162}{89}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$