{l}{4x-4y=4}{-4x-y=-11} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 4 y = 4 } \\ { - 4 x - y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-4y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$4x=4y+4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

4+4y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+1 चा विकल्प वापरा, -4x-y=-11.

$$-4\left(y+1\right)-y=-11$$

y+1 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y-4-y=-11$$

-4y ते -y जोडा.

$$-5y-4=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-5y=-7$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{5}$$

x=y+1 मध्ये y साठी \frac{7}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{5}+1$$

1 ते \frac{7}{5} जोडा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-4\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\\-\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{5}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-4y=4,-4x-y=-11$$

4x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 4x-4\left(-4\right)y=-4\times 4,4\left(-4\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-11\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-16x+16y=-16,-16x-4y=-44$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -16x+16y=-16 मधून -16x-4y=-44 वजा करा.

$$-16x+16x+16y+4y=-16+44$$

-16x ते 16x जोडा. -16x आणि 16x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y+4y=-16+44$$

16y ते 4y जोडा.

$$20y=-16+44$$

-16 ते 44 जोडा.

$$20y=28$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{5}$$

-4x-y=-11 मध्ये y साठी \frac{7}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x-\frac{7}{5}=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{7}{5} जोडा.

$$-4x=-\frac{48}{5}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=\frac{12}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{7}{5}$$