{l}{4x+3y=4}{4x+6y=16} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+4\right)$$

-3y+4 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+1 चा विकल्प वापरा, 4x+6y=16.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+1\right)+6y=16$$

-\frac{3y}{4}+1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y+4+6y=16$$

-3y ते 6y जोडा.

$$3y+4=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$3y=12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=4$$

x=-\frac{3}{4}y+1 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 4+1$$

4 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-3+1$$

1 ते -3 जोडा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 6-3\times 4}&\frac{4}{4\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=4,4x+6y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4x+3y=4 मधून 4x+6y=16 वजा करा.

$$4x-4x+3y-6y=4-16$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-6y=4-16$$

3y ते -6y जोडा.

$$-3y=4-16$$

4 ते -16 जोडा.

$$-3y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=4$$

4x+6y=16 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+6\times 4=16$$

4 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+24=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$4x=-8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=4$$