{l}{3y+4x=6}{9y+7x=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 4 x = 6 } \\ { 9 y + 7 x = 10 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3y+4x=6,9y+7x=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3y+4x=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$3y=-4x+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{3}\left(-4x+6\right)$$

-4x+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{4}{3}x+2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{4x}{3}+2 चा विकल्प वापरा, 9y+7x=10.

$$9\left(-\frac{4}{3}x+2\right)+7x=10$$

-\frac{4x}{3}+2 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-12x+18+7x=10$$

-12x ते 7x जोडा.

$$-5x+18=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-5x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=\frac{8}{5}$$

y=-\frac{4}{3}x+2 मध्ये x साठी \frac{8}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{8}{5} चा -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{32}{15}+2$$

2 ते -\frac{32}{15} जोडा.

$$y=-\frac{2}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{2}{15},x=\frac{8}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3y+4x=6,9y+7x=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 9}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 9}\\-\frac{9}{3\times 7-4\times 9}&\frac{3}{3\times 7-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{15}\times 6+\frac{4}{15}\times 10\\\frac{3}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{2}{15},x=\frac{8}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3y+4x=6,9y+7x=10$$

3y आणि 9y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$9\times 3y+9\times 4x=9\times 6,3\times 9y+3\times 7x=3\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$27y+36x=54,27y+21x=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 27y+36x=54 मधून 27y+21x=30 वजा करा.

$$27y-27y+36x-21x=54-30$$

27y ते -27y जोडा. 27y आणि -27y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$36x-21x=54-30$$

36x ते -21x जोडा.

$$15x=54-30$$

54 ते -30 जोडा.

$$15x=24$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{8}{5}$$

9y+7x=10 मध्ये x साठी \frac{8}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$9y+7\times \frac{8}{5}=10$$

\frac{8}{5} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$9y+\frac{56}{5}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{56}{5} वजा करा.

$$9y=-\frac{6}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$y=-\frac{2}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{2}{15},x=\frac{8}{5}$$