{l}{3x+4y+200=5}{2x+y+100=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + 200 = 5 } \\ { 2 x + y + 100 = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-37$$

$$y=-21$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y+200=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 200 वजा करा.

$$3x+4y=-195$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y-195$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-195\right)$$

-4y-195 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y-65$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3}-65 चा विकल्प वापरा, 2x+y+100=5.

$$2\left(-\frac{4}{3}y-65\right)+y+100=5$$

-\frac{4y}{3}-65 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{3}y-130+y+100=5$$

-\frac{8y}{3} ते y जोडा.

$$-\frac{5}{3}y-130+100=5$$

-130 ते 100 जोडा.

$$-\frac{5}{3}y-30=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 30 जोडा.

$$-\frac{5}{3}y=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-21$$

x=-\frac{4}{3}y-65 मध्ये y साठी -21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-21\right)-65$$

-21 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=28-65$$

-65 ते 28 जोडा.

$$x=-37$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-37,y=-21$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 2}&-\frac{4}{3-4\times 2}\\-\frac{2}{3-4\times 2}&\frac{3}{3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-195\\-95\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-195\right)+\frac{4}{5}\left(-95\right)\\\frac{2}{5}\left(-195\right)-\frac{3}{5}\left(-95\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-37\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-37,y=-21$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y+200=5,2x+y+100=5$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 4y+2\times 200=2\times 5,3\times 2x+3y+3\times 100=3\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$6x+8y+400=10,6x+3y+300=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+8y+400=10 मधून 6x+3y+300=15 वजा करा.

$$6x-6x+8y-3y+400-300=10-15$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-3y+400-300=10-15$$

8y ते -3y जोडा.

$$5y+400-300=10-15$$

400 ते -300 जोडा.

$$5y+100=10-15$$

10 ते -15 जोडा.

$$5y+100=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 100 वजा करा.

$$5y=-105$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-21$$

2x+y+100=5 मध्ये y साठी -21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-21+100=5$$

-21 ते 100 जोडा.

$$2x+79=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 79 वजा करा.

$$2x=-74$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-37$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-37,y=-21$$