{l}{3x+2y=4}{3y+6x=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+2y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$3x=-2y+4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

-2y+4 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+4}{3} चा विकल्प वापरा, 6x+3y=10.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

\frac{-2y+4}{3} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y+8+3y=10$$

-4y ते 3y जोडा.

$$-y+8=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-y=2$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

-2 ला -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते \frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+12y=24 मधून 18x+9y=30 वजा करा.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-9y=24-30$$

12y ते -9y जोडा.

$$3y=24-30$$

24 ते -30 जोडा.

$$3y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-2$$

6x+3y=10 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-6=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$6x=16$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$