{l}{3*a+c=5}{a-c=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

a, c साठी सोडवा

$$a=3$$

$$c=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3a+c=5,a-c=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3a+c=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून c वजा करा.

$$3a=-c+5$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

-c+5 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी \frac{-c+5}{3} चा विकल्प वापरा, a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

-\frac{c}{3} ते -c जोडा.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{3} वजा करा.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$c=-4$$

a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3} मध्ये c साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-4 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{3} ते \frac{4}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=3,c=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3a+c=5,a-c=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि c घटक बाहेर काढा.

$$a=3,c=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3a+c=5,a-c=7$$

3a आणि a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3a+c=5 मधून 3a-3c=21 वजा करा.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

3a ते -3a जोडा. 3a आणि -3a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$c+3c=5-21$$

c ते 3c जोडा.

$$4c=5-21$$

5 ते -21 जोडा.

$$4c=-16$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$c=-4$$

a-c=7 मध्ये c साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a-\left(-4\right)=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$a=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=3,c=-4$$