{l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$25x+16y=72$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16y वजा करा.

$$25x=-16y+72$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

-16y+72 ला \frac{1}{25} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-16y+72}{25} चा विकल्प वापरा, -5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

\frac{-16y+72}{25} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

\frac{16y}{5} ते 4y जोडा.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{72}{5} जोडा.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{36}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

2 ला -\frac{16}{25} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{72}{25} ते -\frac{32}{25} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

25x आणि -5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने गुणाकार करा.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

सरलीकृत करा.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -125x-80y=-360 मधून -125x+100y=0 वजा करा.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

-125x ते 125x जोडा. -125x आणि 125x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-80y-100y=-360$$

-80y ते -100y जोडा.

$$-180y=-360$$

दोन्ही बाजूंना -180 ने विभागा.

$$y=2$$

-5x+4y=0 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5x+4\times 2=0$$

2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-5x+8=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$-5x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$