{l}{2x+y=7}{x+5y=17} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { x + 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

-y+7 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+7}{2} चा विकल्प वापरा, x+5y=17.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}+5y=17$$

-\frac{y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{9}{2}y+\frac{7}{2}=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7}{2} वजा करा.

$$\frac{9}{2}y=\frac{27}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{9}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

3 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3+7}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{2} ते -\frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-1}&-\frac{1}{2\times 5-1}\\-\frac{1}{2\times 5-1}&\frac{2}{2\times 5-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 7-\frac{1}{9}\times 17\\-\frac{1}{9}\times 7+\frac{2}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=7,x+5y=17$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=7,2x+2\times 5y=2\times 17$$

सरलीकृत करा.

$$2x+y=7,2x+10y=34$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+y=7 मधून 2x+10y=34 वजा करा.

$$2x-2x+y-10y=7-34$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-10y=7-34$$

y ते -10y जोडा.

$$-9y=7-34$$

7 ते -34 जोडा.

$$-9y=-27$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=3$$

x+5y=17 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+5\times 3=17$$

3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x+15=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$