{l}{2x+y=4}{2x-y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 2 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$2x=-y+4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

-y+4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+2 चा विकल्प वापरा, 2x-y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=2$$

-\frac{y}{2}+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-y+4-y=2$$

-y ते -y जोडा.

$$-2y+4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$-2y=-2$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{2}y+2 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

2 ते -\frac{1}{2} जोडा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+y=4,2x-y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+y=4 मधून 2x-y=2 वजा करा.

$$2x-2x+y+y=4-2$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y+y=4-2$$

y ते y जोडा.

$$2y=4-2$$

4 ते -2 जोडा.

$$2y=2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=1$$

2x-y=2 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-1=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$2x=3$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$