{l}{2x+3y=9}{4x+9y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + 9 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=13$$

$$y = -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3} \approx -5.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+9$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

-3y+9 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+9}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+9y=1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+9y=1$$

\frac{-3y+9}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y+18+9y=1$$

-6y ते 9y जोडा.

$$3y+18=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$3y=-17$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-\frac{17}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2} मध्ये y साठी -\frac{17}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{17}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{17}{3} चा -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{17+9}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{2} ते \frac{17}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 9-3\times 4}&\frac{2}{2\times 9-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}\times 9+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-\frac{17}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2\times 9y=2$$

सरलीकृत करा.

$$8x+12y=36,8x+18y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+12y=36 मधून 8x+18y=2 वजा करा.

$$8x-8x+12y-18y=36-2$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-18y=36-2$$

12y ते -18y जोडा.

$$-6y=36-2$$

36 ते -2 जोडा.

$$-6y=34$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=-\frac{17}{3}$$

4x+9y=1 मध्ये y साठी -\frac{17}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+9\left(-\frac{17}{3}\right)=1$$

-\frac{17}{3} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-51=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 51 जोडा.

$$4x=52$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$