{l}{2a+6d=0}{a+4d=21} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 6 d = 0 } \\ { a + 4 d = 21 } \end{array} \right.$$

a, d साठी सोडवा

$$a=-63$$

$$d=21$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2a+6d=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6d वजा करा.

$$2a=-6d$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{2}\left(-6\right)d$$

-6d ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-3d$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -3d चा विकल्प वापरा, a+4d=21.

$$-3d+4d=21$$

-3d ते 4d जोडा.

$$d=21$$

a=-3d मध्ये d साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-3\times 21$$

21 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$a=-63$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-63,d=21$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-6}&-\frac{6}{2\times 4-6}\\-\frac{1}{2\times 4-6}&\frac{2}{2\times 4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 21\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि d घटक बाहेर काढा.

$$a=-63,d=21$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

2a आणि a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2a+6d=0,2a+2\times 4d=2\times 21$$

सरलीकृत करा.

$$2a+6d=0,2a+8d=42$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2a+6d=0 मधून 2a+8d=42 वजा करा.

$$2a-2a+6d-8d=-42$$

2a ते -2a जोडा. 2a आणि -2a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6d-8d=-42$$

6d ते -8d जोडा.

$$-2d=-42$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$d=21$$

a+4d=21 मध्ये d साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a+4\times 21=21$$

21 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$a+84=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 84 वजा करा.

$$a=-63$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=-63,d=21$$