{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-28$$

$$y=63$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$11x+5y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$11x=-5y+7$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7 ला \frac{1}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+7}{11} चा विकल्प वापरा, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

\frac{-5y+7}{11} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

-\frac{30y}{11} ते 3y जोडा.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{42}{11} वजा करा.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{11} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} मध्ये y साठी 63 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

63 ला -\frac{5}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{11} ते -\frac{315}{11} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-28,y=63$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-28,y=63$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 11 ने गुणाकार करा.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

सरलीकृत करा.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 66x+30y=42 मधून 66x+33y=231 वजा करा.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

66x ते -66x जोडा. 66x आणि -66x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30y-33y=42-231$$

30y ते -33y जोडा.

$$-3y=42-231$$

42 ते -231 जोडा.

$$-3y=-189$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=63$$

6x+3y=21 मध्ये y साठी 63 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+3\times 63=21$$

63 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x+189=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 189 वजा करा.

$$6x=-168$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-28,y=63$$