{l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-3y+4x=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$-3y=-4x+13$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-4x+13 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{4x-13}{3} चा विकल्प वापरा, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

\frac{4x-13}{3} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-\frac{20x}{3} ते -6x जोडा.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{65}{3} वजा करा.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{38}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3} मध्ये x साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

7 ला \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{13}{3} ते \frac{28}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=5,x=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=5,x=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y आणि -5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने गुणाकार करा.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

सरलीकृत करा.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15y-20x=-65 मधून 15y+18x=201 वजा करा.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

15y ते -15y जोडा. 15y आणि -15y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20x-18x=-65-201$$

-20x ते -18x जोडा.

$$-38x=-65-201$$

-65 ते -201 जोडा.

$$-38x=-266$$

दोन्ही बाजूंना -38 ने विभागा.

$$x=7$$

-5y-6x=-67 मध्ये x साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-5y-6\times 7=-67$$

7 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-5y-42=-67$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 42 जोडा.

$$-5y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=5,x=7$$