{l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-12x+10y=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$-12x=-10y-10$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

-10y-10 ला -\frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5+5y}{6} चा विकल्प वापरा, 6x-7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

\frac{5+5y}{6} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$5y+5-7y=-5$$

5y ते -7y जोडा.

$$-2y+5=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-2y=-10$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=5$$

x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

5 ला \frac{5}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{6} ते \frac{25}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

-12x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -12 ने गुणाकार करा.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -72x+60y=-60 मधून -72x+84y=60 वजा करा.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

-72x ते 72x जोडा. -72x आणि 72x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$60y-84y=-60-60$$

60y ते -84y जोडा.

$$-24y=-60-60$$

-60 ते -60 जोडा.

$$-24y=-120$$

दोन्ही बाजूंना -24 ने विभागा.

$$y=5$$

6x-7y=-5 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-7\times 5=-5$$

5 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-35=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$6x=30$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=5$$