{l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=-10$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-20=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x-20-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 20 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7y जोडा.

$$5x+45+7y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5x+7y=-45$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$2x=y+20$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

y+20 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+10 चा विकल्प वापरा, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

\frac{y}{2}+10 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

\frac{5y}{2} ते 7y जोडा.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 50 वजा करा.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-10$$

x=\frac{1}{2}y+10 मध्ये y साठी -10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

-10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-5+10$$

10 ते -5 जोडा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-10$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-20=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x-20-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 20 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7y जोडा.

$$5x+45+7y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5x+7y=-45$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=-10$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-20=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$2x-20-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 20 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$2x-y=20$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7y जोडा.

$$5x+45+7y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5x+7y=-45$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

2x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

सरलीकृत करा.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-5y=100 मधून 10x+14y=-90 वजा करा.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y-14y=100+90$$

-5y ते -14y जोडा.

$$-19y=100+90$$

100 ते 90 जोडा.

$$-19y=190$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=-10$$

5x+7y=-45 मध्ये y साठी -10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

-10 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-70=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 70 जोडा.

$$5x=25$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-10$$