{l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 50 ने गुणाकार करा, 25,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 चा गुणाकार करा.

$$54x+45y=50400$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$54x+45y=50400$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45y वजा करा.

$$54x=-45y+50400$$

दोन्ही बाजूंना 54 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

-45y+50400 ला \frac{1}{54} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} चा विकल्प वापरा, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} ला \frac{11}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{11y}{12} ते \frac{43y}{5} जोडा.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3080}{3} वजा करा.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{461}{60} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} मध्ये y साठी \frac{80}{461} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{80}{461} चा -\frac{5}{6} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2800}{3} ते -\frac{200}{1383} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{430200}{461}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 50 ने गुणाकार करा, 25,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 चा गुणाकार करा.

$$54x+45y=50400$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 50 ने गुणाकार करा, 25,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\times 27x+45y=50400$$

54 मिळविण्यासाठी 2 आणि 27 चा गुणाकार करा.

$$54x+45y=50400$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x आणि \frac{11x}{10} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{11}{10} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 54 ने गुणाकार करा.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 मधून \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 वजा करा.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{297x}{5} ते -\frac{297x}{5} जोडा. \frac{297x}{5} आणि -\frac{297x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

\frac{99y}{2} ते -\frac{2322y}{5} जोडा.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

55440 ते -55512 जोडा.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{4149}{10} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028 मध्ये y साठी \frac{80}{461} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{80}{461} चा \frac{43}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{688}{461} वजा करा.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{10} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{430200}{461}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$