{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=7$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 ला 2x-y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 ला x-2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मिळविण्यासाठी 8x आणि -3x एकत्र करा.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मिळविण्यासाठी -4y आणि 6y एकत्र करा.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 9 वजा करा.

$$5x+2y+3=48$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$5x+2y=48-3$$

45 मिळविण्यासाठी 48 मधून 3 वजा करा.

$$5x+2y=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 ला 3x-4y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 ला 4x-2y-9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मिळविण्यासाठी 9x आणि 16x एकत्र करा.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मिळविण्यासाठी -12y आणि -8y एकत्र करा.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मिळविण्यासाठी 9 मधून 36 वजा करा.

$$25x-20y-27=48$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$25x-20y=48+27$$

75 मिळविण्यासाठी 48 आणि 27 जोडा.

$$25x-20y=75$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+2y=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$5x=-2y+45$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

-2y+45 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{2y}{5}+9 चा विकल्प वापरा, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

-\frac{2y}{5}+9 ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$-10y+225-20y=75$$

-10y ते -20y जोडा.

$$-30y+225=75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 225 वजा करा.

$$-30y=-150$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

5 ला -\frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2+9$$

9 ते -2 जोडा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 ला 2x-y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 ला x-2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मिळविण्यासाठी 8x आणि -3x एकत्र करा.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मिळविण्यासाठी -4y आणि 6y एकत्र करा.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 9 वजा करा.

$$5x+2y+3=48$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$5x+2y=48-3$$

45 मिळविण्यासाठी 48 मधून 3 वजा करा.

$$5x+2y=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 ला 3x-4y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 ला 4x-2y-9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मिळविण्यासाठी 9x आणि 16x एकत्र करा.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मिळविण्यासाठी -12y आणि -8y एकत्र करा.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मिळविण्यासाठी 9 मधून 36 वजा करा.

$$25x-20y-27=48$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$25x-20y=48+27$$

75 मिळविण्यासाठी 48 आणि 27 जोडा.

$$25x-20y=75$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=7,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 ला 2x-y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 ला x-2y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x मिळविण्यासाठी 8x आणि -3x एकत्र करा.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y मिळविण्यासाठी -4y आणि 6y एकत्र करा.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 9 वजा करा.

$$5x+2y+3=48$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$5x+2y=48-3$$

45 मिळविण्यासाठी 48 मधून 3 वजा करा.

$$5x+2y=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 ला 3x-4y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 ला 4x-2y-9 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x मिळविण्यासाठी 9x आणि 16x एकत्र करा.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y मिळविण्यासाठी -12y आणि -8y एकत्र करा.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 मिळविण्यासाठी 9 मधून 36 वजा करा.

$$25x-20y-27=48$$

दोन्ही बाजूंना 27 जोडा.

$$25x-20y=48+27$$

75 मिळविण्यासाठी 48 आणि 27 जोडा.

$$25x-20y=75$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x आणि 25x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

सरलीकृत करा.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 125x+50y=1125 मधून 125x-100y=375 वजा करा.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

125x ते -125x जोडा. 125x आणि -125x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$50y+100y=1125-375$$

50y ते 100y जोडा.

$$150y=1125-375$$

1125 ते -375 जोडा.

$$150y=750$$

दोन्ही बाजूंना 150 ने विभागा.

$$y=5$$

25x-20y=75 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$25x-20\times 5=75$$

5 ला -20 वेळा गुणाकार करा.

$$25x-100=75$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 100 जोडा.

$$25x=175$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$x=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=7,y=5$$