{l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे \frac{2}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3y-2 ने गुणाकार करा.

$$2x+3=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+3-3y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x ला 2y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 मिळविण्यासाठी 2xy आणि -2yx एकत्र करा.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x-6y=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-5}{2} चा विकल्प वापरा, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

\frac{3y-5}{2} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

-\frac{21y}{2} ते -6y जोडा.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{35}{2} वजा करा.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{33}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{2} ते \frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे \frac{2}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3y-2 ने गुणाकार करा.

$$2x+3=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+3-3y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x ला 2y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 मिळविण्यासाठी 2xy आणि -2yx एकत्र करा.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x-6y=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे \frac{2}{3} च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3y-2 ने गुणाकार करा.

$$2x+3=3y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$2x+3-3y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$2x-3y=-5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x ला 2y-5 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 मिळविण्यासाठी 2xy आणि -2yx एकत्र करा.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x मिळविण्यासाठी -5x आणि -2x एकत्र करा.

$$-7x-6y=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

2x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

सरलीकृत करा.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -14x+21y=35 मधून -14x-12y=2 वजा करा.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

-14x ते 14x जोडा. -14x आणि 14x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$21y+12y=35-2$$

21y ते 12y जोडा.

$$33y=35-2$$

35 ते -2 जोडा.

$$33y=33$$

दोन्ही बाजूंना 33 ने विभागा.

$$y=1$$

-7x-6y=1 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x-6=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-7x=7$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=1$$