{l}{1/4x+1/2y=-6}{-1/3x+1/6y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - 6 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{84}{5} = -16\frac{4}{5} = -16.8$$

$$y = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{y}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}y-6$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x=4\left(-\frac{1}{2}y-6\right)$$

-\frac{y}{2}-6 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y-24$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y-24 चा विकल्प वापरा, -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5.

$$-\frac{1}{3}\left(-2y-24\right)+\frac{1}{6}y=5$$

-2y-24 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}y+8+\frac{1}{6}y=5$$

\frac{2y}{3} ते \frac{y}{6} जोडा.

$$\frac{5}{6}y+8=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$\frac{5}{6}y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{18}{5}$$

x=-2y-24 मध्ये y साठी -\frac{18}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-\frac{18}{5}\right)-24$$

-\frac{18}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{36}{5}-24$$

-24 ते \frac{36}{5} जोडा.

$$x=-\frac{84}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-6\right)-\frac{12}{5}\times 5\\\frac{8}{5}\left(-6\right)+\frac{6}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{84}{5}\\-\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

\frac{x}{4} आणि -\frac{x}{3} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -\frac{1}{3} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{1}{4} ने गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}\left(-6\right),\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2,-\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2 मधून -\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4} वजा करा.

$$-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

-\frac{x}{12} ते \frac{x}{12} जोडा. -\frac{x}{12} आणि \frac{x}{12} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

-\frac{y}{6} ते -\frac{y}{24} जोडा.

$$-\frac{5}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

2 ते -\frac{5}{4} जोडा.

$$-\frac{5}{24}y=\frac{3}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{24} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{18}{5}$$

-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5 मध्ये y साठी -\frac{18}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{18}{5}\right)=5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{18}{5} चा \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{3}{5}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{5} जोडा.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{28}{5}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$x=-\frac{84}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$