{c}{8x+4y=10}{4x+9y=30} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x+4y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$8x=-4y+10$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

-4y+10 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, 4x+9y=30.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

-\frac{y}{2}+\frac{5}{4} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+5+9y=30$$

-2y ते 9y जोडा.

$$7y+5=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$7y=25$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी \frac{25}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{25}{7} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{25}{14} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{15}{28}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

8x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

सरलीकृत करा.

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 32x+16y=40 मधून 32x+72y=240 वजा करा.

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

32x ते -32x जोडा. 32x आणि -32x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y-72y=40-240$$

16y ते -72y जोडा.

$$-56y=40-240$$

40 ते -240 जोडा.

$$-56y=-200$$

दोन्ही बाजूंना -56 ने विभागा.

$$y=\frac{25}{7}$$

4x+9y=30 मध्ये y साठी \frac{25}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

\frac{25}{7} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{225}{7} वजा करा.

$$4x=-\frac{15}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-\frac{15}{28}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$