{c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+2y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$2x=-2y+4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

-2y+4 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+2 चा विकल्प वापरा, -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

-y+2 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-4+3y=-9$$

2y ते 3y जोडा.

$$5y-4=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$5y=-5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=-y+2 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

-1 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+2$$

2 ते 1 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

2x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x-4y=-8 मधून -4x+6y=-18 वजा करा.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y-6y=-8+18$$

-4y ते -6y जोडा.

$$-10y=-8+18$$

-8 ते 18 जोडा.

$$-10y=10$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=-1$$

-2x+3y=-9 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

-1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-3=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-2x=-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$