{c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

u, v साठी सोडवा

$$u=-8$$

$$v=-6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला u विलग करून, u साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-7u-10v=116$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10v जोडा.

$$-7u=10v+116$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

10v+116 ला -\frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये u साठी \frac{-10v-116}{7} चा विकल्प वापरा, -7u+10v=-4.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

\frac{-10v-116}{7} ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$10v+116+10v=-4$$

10v ते 10v जोडा.

$$20v+116=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 116 वजा करा.

$$20v=-120$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$v=-6$$

u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7} मध्ये v साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

-6 ला -\frac{10}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{116}{7} ते \frac{60}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$u=-8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=-8,v=-6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे u आणि v घटक बाहेर काढा.

$$u=-8,v=-6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -7u-10v=116 मधून -7u+10v=-4 वजा करा.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

-7u ते 7u जोडा. -7u आणि 7u रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10v-10v=116+4$$

-10v ते -10v जोडा.

$$-20v=116+4$$

116 ते 4 जोडा.

$$-20v=120$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$v=-6$$

-7u+10v=-4 मध्ये v साठी -6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

-6 ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$-7u-60=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 60 जोडा.

$$-7u=56$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$u=-8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=-8,v=-6$$