{c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-2x+7y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$-2x=-7y+10$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

-7y+10 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y}{2}-5 चा विकल्प वापरा, 3x+7y=2.

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

\frac{7y}{2}-5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

\frac{21y}{2} ते 7y जोडा.

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$\frac{35}{2}y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{35}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{34}{35}$$

x=\frac{7}{2}y-5 मध्ये y साठी \frac{34}{35} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{34}{35} चा \frac{7}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{17}{5}-5$$

-5 ते \frac{17}{5} जोडा.

$$x=-\frac{8}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2x+7y=10 मधून 3x+7y=2 वजा करा.

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

7y ते -7y जोडा. 7y आणि -7y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2x-3x=10-2$$

-2x ते -3x जोडा.

$$-5x=10-2$$

10 ते -2 जोडा.

$$-5x=8$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{8}{5}$$

3x+7y=2 मध्ये x साठी -\frac{8}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

-\frac{8}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{24}{5} जोडा.

$$7y=\frac{34}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{34}{35}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$