{r}{2x+5y=9}{x-y=5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7} \approx 4.857142857$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y+9$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

-5y+9 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+9}{2} चा विकल्प वापरा, x-y=5.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}-y=5$$

-\frac{5y}{2} ते -y जोडा.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{9}{2}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{1}{7}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2} मध्ये y साठी -\frac{1}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1}{7} चा -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{9}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{2} ते \frac{5}{14} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{34}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y=9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$2x+5y=9,2x-2y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+5y=9 मधून 2x-2y=10 वजा करा.

$$2x-2x+5y+2y=9-10$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+2y=9-10$$

5y ते 2y जोडा.

$$7y=9-10$$

9 ते -10 जोडा.

$$7y=-1$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{7}$$

x-y=5 मध्ये y साठी -\frac{1}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\left(-\frac{1}{7}\right)=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{7} वजा करा.

$$x=\frac{34}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$