{l}{y-2x=4}{7x-y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 7 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-2x=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2x जोडा.

$$y=2x+4$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 4+2x चा विकल्प वापरा, -y+7x=1.

$$-\left(2x+4\right)+7x=1$$

4+2x ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-4+7x=1$$

-2x ते 7x जोडा.

$$5x-4=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$5x=5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=1$$

y=2x+4 मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2+4$$

4 ते 2 जोडा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\times 4+\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=6,x=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-2x=4,-y+7x=1$$

y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-y-\left(-2x\right)=-4,-y+7x=1$$

सरलीकृत करा.

$$-y+2x=-4,-y+7x=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y+2x=-4 मधून -y+7x=1 वजा करा.

$$-y+y+2x-7x=-4-1$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-7x=-4-1$$

2x ते -7x जोडा.

$$-5x=-4-1$$

-4 ते -1 जोडा.

$$-5x=-5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=1$$

-y+7x=1 मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+7=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7 वजा करा.

$$-y=-6$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=1$$