{l}{y=3x-2}{5x+4y=9} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-3x=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$y=3x-2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 3x-2 चा विकल्प वापरा, 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

3x-2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$12x-8+5x=9$$

12x ते 5x जोडा.

$$17x-8=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$17x=17$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$x=1$$

y=3x-2 मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=3-2$$

-2 ते 3 जोडा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=1,x=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

y आणि 4y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

सरलीकृत करा.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4y-12x=-8 मधून 4y+5x=9 वजा करा.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

4y ते -4y जोडा. 4y आणि -4y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12x-5x=-8-9$$

-12x ते -5x जोडा.

$$-17x=-8-9$$

-8 ते -9 जोडा.

$$-17x=-17$$

दोन्ही बाजूंना -17 ने विभागा.

$$x=1$$

4y+5x=9 मध्ये x साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$4y+5=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$4y=4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=1,x=1$$