{l}{y=5/2x+1}{y=5x+17} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x + 1 } \\ { y = 5 x + 17 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{32}{5} = -6\frac{2}{5} = -6.4$$

$$y=-15$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=17$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5x}{2} जोडा.

$$y=\frac{5}{2}x+1$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{5x}{2}+1 चा विकल्प वापरा, y-5x=17.

$$\frac{5}{2}x+1-5x=17$$

\frac{5x}{2} ते -5x जोडा.

$$-\frac{5}{2}x+1=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$-\frac{5}{2}x=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{32}{5}$$

y=\frac{5}{2}x+1 मध्ये x साठी -\frac{32}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{32}{5}\right)+1$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{32}{5} चा \frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-16+1$$

1 ते -16 जोडा.

$$y=-15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=17$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-17\\\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times 17\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-\frac{32}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{5}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=17$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-\frac{5}{2}x=1 मधून y-5x=17 वजा करा.

$$y-y-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

-\frac{5x}{2} ते 5x जोडा.

$$\frac{5}{2}x=1-17$$

1 ते -17 जोडा.

$$\frac{5}{2}x=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{32}{5}$$

y-5x=17 मध्ये x साठी -\frac{32}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-5\left(-\frac{32}{5}\right)=17$$

-\frac{32}{5} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$y+32=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 32 वजा करा.

$$y=-15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$